Федеральное государственное бюджетное учреждение науки
Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики
Российской академии наук
Российская Академия Наук

Кинематическое динамо (1)

Магнитный α-эффект и вихревая диффузия не могут считаться основными механизмами генерации многомасштабных полей.

Рассмотрена кинематическая генерация пространственно-периодическим течением электропроводной жидкости магнитных мод вида произведения трехмерного поля, имеющего такую же периодичность, на гармонику Фурье с произвольным постоянным волновым вектором q. Проведены расчеты магнитных мод с максимальным по q инкрементом роста γ для модельного течения общего вида (в таких течениях присутствует магнитный α-эффект) и для центрально-симметричного модельного течения (в таких течениях α-эффект отсутствует, но в модельном течении присутствует отрицательная магнитная вихревая диффузия). Показано, что магнитные моды с максимальным по q инкрементом роста γ характеризуются слабым разделением пространственных масштабов, поэтому указанные эффекты не могут считаться основными механизмами их генерации.

Изоповерхности плотности кинетической энергии модельного течения общего вида на уровне 50% от максимальной плотности. Изображен один куб периодичности течения.

 

 а)   б) 

Максимальный по q инкремент роста магнитных мод γ (вертикальная ось) (а) для модельного течения общего вида и волновой вектор q (вертикальная ось) (б), для которого достигается maxqγ, как функции молекулярной магнитной диффузии η (горизонтальная ось). Точки показывают вычисленные величины maxqγ (а). Сплошная линия: |q|, штриховые: qn, длина штриха увеличивается с индексом n (б).

Изоповерхности инкремента γ в пространстве волновых векторов q для модельного течения общего вида для молекулярной магнитной диффузии η=0.1 на уровнях 25%, 50%, 75% и 90% от maxqγ.

Изоповерхности плотности кинетической энергии центрально-симметричного модельного течения на уровне 60% от максимальной плотности. Изображен один куб периодичности течения.

 а)   б) 

Максимальный по q инкремент роста магнитных мод g (вертикальная ось) (а) для центрально-симметричного модельного течения и волновой вектор q (вертикальная ось) (б), для которого достигается maxqγ, как функции молекулярной магнитной диффузии h (горизонтальная ось). Точки показывают вычисленные величины maxqγ (а). Локальные максимумы γ достигаются при q=0 (правая ветвь, пунктир, нейтральные моды), q=(0,1/2,0) (средняя ветвь, штриховая линия), для левой ветви (сплошная линия) соответствующие q изображены на графиках (б): сплошная линия: |q|, штриховые: qn, длина штриха увеличивается с индексом n (б).

Изоповерхности инкремента роста γ магнитных мод в пространстве волновых векторов q для центрально-симметричного модельного течения общего вида для молекулярной магнитной диффузии η=0.1 на уровнях 25%, 50%, 75% и 90% от maxqγ.

Публикации:

В.А. Желиговский, Р.А. Чертовских. О кинематической генерации магнитных мод блоховского типа. Физика Земли, №1, 2020.




Кинематическое динамо (2)

Отсутствие спиральности у течения несжимаемой электропроводной жидкости не препятствует генерации коротко- или длинномасштабного магнитного поля и наличию у течения магнитного α-эффекта или отрицательной вихревой диффузии.
 
Построено 6 семейств трехмерных стационарных пространственно-периодических течений U несжимаемой электропроводной жидкости, плотность кинетической спиральности которых равна нулю: U rot U =0 в каждой точке пространства. Течения 4 семейств описаны замкнутыми формулами. Течения 4 семейств (другая четверка!) имеют нулевой спектр спиральности: Ûn(in×Ûn)=0 для всех n, где Ûn - коэффициенты Фурье поля скорости U, а черта обозначает комплексное сопряжение. Численно показано, что модельные течения пяти из этих семейств способны кинематически генерировать как коротко-, так и длинномасштабные магнитные поля, причем длинномасштабные - с помощью как магнитного α-эффекта, так и, для центрально-симметричных течений, отрицательной вихревой диффузии. Таким образом, спиральности полей (-Δ)βU или (-Δ)β rot U не контролируют способность соленоидального потока генерировать магнитное поле ни при каком действительном β (здесь Δ - оператор Лапласа).
 

Изоповерхности величины скорости |U| (верхний ряд) и завихренности |rot U| (верхний ряд) для двух модельных течений семейства L с ненулевым спектром спиральности на уровне 1/3 соответствующего максимума, для которых генерация короткомасштабного поля начинается в четном (левый столбец) или нечетном (правый столбец) инвариантном подпространстве. Показан один куб периодичности течения.

Течения семейства L имеют вид U = ab - ba, где a и b - собственные функции лапласиана, отвечающие одному и тому же собственному значению. При условии периодичности такие U принадлежат четному подпространству.
 

Максимальный инкремент γα роста в медленном времени длинномасштабных магнитных полей, генерируемых магнитным α-эффектом в двух модельных течениях семейства L. Точки показывают вычисленные γα. Тонкие вертикальные линии расположены в критических ηcrit начала генерации короткомасштабного магнитного поля в четном (сплошная линия) и нечетном (штриховая линия) инвариантном подпространстве; прерывистой линией на графике справа показаны инкременты γα в интервале между двумя ηcrit, в котором генерация длинномасштабного магнитного поля магнитным α-эффектом скрыта на фоне более быстрой генерации короткомасштабного поля в нечетном инвариантном подпространстве. В точке ηcrit в четном инвариантном подпространстве расположена вертикальная асимптота γα.

 

Изоповерхности поля скорости |U| (слева) и завихренности |rot U| (справа) для центрально-симметричного (и потому не обладающего α-эффектом) модельного течения семейства L с ненулевым спектром спиральности на уровнях 1/3 и 2/5 соответствующего максимума. Показан один куб периодичности течения.

Вверху: Минимальная магнитная вихревая диффузия ηeddy в модельном течении семейства L. Точки обозначают вычисленные ηeddy. Пунктирная линия - гипербола, найденная методом минимальных квадратов по 7 вычисленным величинам ηeddy в интервале 0.023≤η≤0.032. Внизу: доминирующие инкременты роста γsm короткомасштабных магнитных мод из центрально-симметричного (сплошная линия) и центрально-антисимметричного (штриховая линия) инвариантного подпространства, генерируемых этим течением. Темные (светлые) кружки обозначают, что соответствующие собственные значения оператора магнитной индукции действительны (комплексны). Тонкие вертикальные линии расположены в критических ηcrit начала генерации короткомасштабных магнитных полей в двух указанных инвариантных подпространствах. В точках ηcrit  начала генерации в инвариантных подпространствах, где действительное собственное значение проходит через 0, расположены вертикальные асимптоты ηeddy.

Течения семейства C ("косинусные течения") имеют компоненты
u1 = n (b1 sin(ax) + a1 sin(bx)) cosnx3,
u2 = n (b2 sin(ax) + a2 sin(bx)) cosnx3,
u3 = -(ab)(cos(ax) + cos(bx)) sinnx3.
Было выделено 183 т.н. "основные" косинусные течения, в которых компоненты постоянных горизонтальных векторов a и b, а также волновое число n - целые числа от -3 до 3, и были наложены другие естественные условия - например, никакие два основные потока не переводятся друг в друга симметриями.

 
Гистограммы доминирующих инкрементов роста γsm короткомасштабных магнитных мод, генерируемых 183 основными косинусными течениями для η = 0.01 (черная сплошная линия), 0.02 (серая сплошная линия, область под которой показана серым) и 0.05 (синяя штриховая линия). Гистограммы минимальной магнитной вихревой диффузии ηeddy в этих течениях (сплошная линия) и в тех из них, которые при данном η не являются короткомасштабными динамо (синяя пунктирная линия).

Совместное распределение минимальной магнитной вихревой диффузии ηeddy и доминирующих инкрементов роста γsm короткомасштабных магнитных мод среди основных течений семейства С для η = 0.01 (звездочки), 0.02 (кружки), 0.05 (треугольники).

 
Публикации:

Rasskazov A., Chertovskih R., Zheligovsky V. Magnetic field generation by pointwise zero-helicity three-dimensional steady flow of incompressible electrically conducting fluid. Phys. Rev. E, 97, 2018, 043201 [arxiv.org/abs/1708.08770].

Andrievsky A., Chertovskih R., Zheligovsky V. Pointwise vanishing velocity helicity of a flow does not preclude magnetic field generation. Phys. Rev. E, 99, 2019, 033204 [arxiv.org/abs/1811.00859].


Идеальная магнитогидродинамика

Разложение решения уравнений идеальной магнитогидродинамики в ряд Тейлора по времени может быть использовано для его вычисления.
 
Доказано, что, если начальные скорость течения жидкости и магнитное поле - аналитические функции пространственных переменных, то решение системы трехмерных уравнений идеальной магнитогидродинамики аналитично по пространственным переменным и времени на некотором временнóм интервале строго положительной длины. С использованием свойства вмороженности магнитного поля построены разложения решения в эйлеровых и лагранжевых координатах в ряды Тейлора по времени. Для их коэффициентов выведены рекуррентные соотношения. Эти результаты положены в основу алгоритмов численного интегрирования рассматриваемых уравнений по времени. Лагранжев алгоритм опробован в расчетах; в решении наблюдается образование структур меньших размерностей. Уже при t≈1.5 использованное пространственное разрешение 2563 гармоник Фурье оказывается недостаточным, и на изоповерхностях появляется численная "рябь".
 

Изоповерхности плотности кинетической энергии течения на уровне 1/3 (левый столбец) и 1/2 (правый столбец) максимума с шагом по времени ≈0.5 (точные времена t указаны на рисунке). Изображен один куб периодичности течения.

 

Изоповерхности плотности магнитной энергии течения на уровне 1/3 (левый столбец) и 1/2 (правый столбец) максимума с шагом по времени ≈0.5 (точные времена t указаны на рисунке). Изображен один куб периодичности течения.

Публикации:

В.А. Желиговский, О.М. Подвигина. Численный алгоритм интегрирования по времени задач идеальной магнитогидродинамики, опирающийся на аналитичность их решений. Физика Земли, №1, 2020.




Численные методы

Создан метод вычисления решения уравнения Монжа-Ампера с контрастной правой частью.
 
В космологии считается, что после отделения фотонов от вещества через 380 тысяч лет после Большого Взрыва распределение вещества было равномерным с точностью порядка 10-5-10-6 от средней плотности. Этой флюктуации оказалось достаточно, чтобы под действием гравитации распределение вещества во Вселенной стало крайне неравномерным - таким, каким мы его наблюдаем. Поскольку гравитация - потенциальная сила, на пространственных масштабах, существенно бóльших размеров галактик, перемещение вещества описывается градиентом решения т.н. уравнения Монжа-Ампера: det(∂2u/∂xixj) = r(x), где правая часть r - плотность вещества во Вселенной в нашу эпоху. Если всюду r>0, то для стандартных краевых условий данное уравнение имеет единственное решение, но эта теорема может нарушаться уже при r³0. Это приводит к вычислительным сложностям при большой величине параметра контраста задачи rmax/rmin (что характерно для задач астрофизики). Если r - пространственно-периодическая функция, то u = u' + c|x|2, где u' имеет такую же периодичность, c = <r>/2, а угловые скобки обозначают усреднение по ячейке периодичности.
 
Метод предполагает последовательное вычисление решений регуляризованных уравнений и их экстраполяцию по параметру регуляризации. Он был применен для модельного распределения вещества по трем "галактикам" в кубе периодичности [-1/2,1/2]3 с гауссовым распределением вещества каждой "галактики". Параметр контраста задачи ~107.

Слева: изоповерхности решения u для модельной задачи на уровнях 1/2 и 1/8 максимума u. Справа: изоповерхность Δu' (лапласиана u') на уровне 1/3 максимума. Модельные "галактики" находятся внутри показанных структур. Показан куб периодичности распределения r.

∇u' на плоскостях, параллельных координатным, проходящих через три модельные "галактики", положение которых показано звездами. Цвет кодирует массы галактик: синий, фиолетовый, красный, в порядке возрастания масс.

Публикации:

Zheligovsky V., Podvigina O., Frisch U. The Monge-Ampère equation: various forms and numerical methods. J. Computational Physics, 229, 2010, 5043-5061 [arxiv.org/abs/0910.1301].


Прогноз опасности сильных афтершоков

В рамках проекта РНФ 15-17-00093 в ИТПЗ РАН под руководством д.ф.-м.н. П.Н. Шебалина была разработана Информационная система автоматической оценки сейсмической опасности после сильных землетрясений AFCAST. Эта система работает в режиме времени близком к реальному. Оцениваются область эпицентров ожидаемых афтершоков, максимальная магнитуда и длительность опасного периода.  Для оценки используются данные каталога ANSS ComCat Геологической службы США (USGS). В настоящее время ведется прогноз возможных афтершоков землетрясений мира магнитудой 6.5 и более.
 
При создании системы был получен ряд фундаментальных результатов. В частности, была продемонстрирована независимость магнитуды сильных афтершоков от времени [Баранов, Шебалин, 2019]. Было введено понятие продуктивности землетрясения относительной магнитуды (число инициированных непосредственно этим землетрясением событий магнитудой не ниже порога, определяемого фиксированной разностью относительно этого землетрясения). Установлено, что это величина имеет экспоненциальное распределение, а среднее значение распределения быстро убывает с глубиной очага. Экспоненциальное распределение числа афтершоков относительной магнитуды объясняет форму распределения разности магнитуды основного толчка и сильнейшего афтершока (закон Бота). Размах (дисперсия) этого распределения определяется значением параметра b закона Гутенберга-Рихтера, а положение моды распределения средним значением числа афтершоков относительной магнитуды. Это позволяет также оценить зависимость разности магнитуды основного толчка и сильнейшего афтершока от времени.
 
Для работы с системой AFCAST перейдите по ссылке https://afcast.org/afcast/. Краткая инструкция по работе с системой AFCAST находится по ссылке: AFCAST-manual.pdf.
Результаты системы носят предварительный характер и могут использоваться только в научных целях. В случае неполадок каких-либо элементов системы AFCAST необходимо сообщить по e-mail: bars.vl@gmail.com, vadim@krsc.ru.
 

Примеры работы программы





Основные публикации:

Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 2. Оценка области распространения сильных афтершоков // Физика Земли. 2017. №  3. С.  43–61.

Шебалин П.Н., Баранов С.В. Экспресс оценка опасности сильных афтершоков района Камчатки и?Курильских островов // Вулканология и сейсмология. 2017. №  4. С.  57

Shebalin P., Baranov S. Long-Delayed Aftershocks in New Zealand and the 2016 M7.8 Kaikoura Earthquake  // Pure and Applied Geophysics. 2017. V. 174, No. 7, P. 3751–3764. DOI 10.1007/s00024-017-1608-9.

Shebalin P., Narteau C. Depth dependent stress revealed by aftershocks // Nature Communiations. 2017. V. 8, No. 1317. DOI: 10.1038/s41467-017-01446-y

Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 3. Динамический закон Бота // Физика Земли. 2018. Т. 54. №6. С. 129-136.

Шебалин П. Математические методы анализа и прогноза афтершоков землетрясении?: необходимость смены парадигмы // Чебышевский сборник. 2018. Т. XIX, Вып. 4(68). С. 227-242.

Шебалин П.Н., Баранов СВ., Дзебоев  Б.А. Закон повторяемости количества афтершоков // Доклады Академии наук. 2018. T. 481. № 3.

Баранов С.В., Шебалин П.Н. Глобальная статистика афтершоков сильных землетрясений: независимость времен и магнитуд // Вулканология и сейсмология. 2019. №2. С. 67-76.

Баранов С.В., Павленко В.А., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 4. Оценка максимальной магнитуды последующих афтершоков // Физика Земли. 2019. Т. 55. №4. С. 1-11.

Баранов С.В., Шебалин П.Н. О прогнозировании афтершоковой активности. 5. Оценка длительности опасного периода // Физика Земли. 2018. Т. 55. №5.